离心风机设计核心：动量矩方程的理论解析与应用
作者：王军（139-7298-9387）
关键词： 离心风机、鼓风机设计、动量矩定理、欧拉方程、叶轮机械、气体输送
引言
在工业气体输送与通风领域，离心风机作为核心动力设备，其性能优劣直接关系到整个系统的能效、稳定性与经济性。作为一名风机技术从业者，我们深知优秀的设计并非源于经验的简单堆砌，而是建立在严密的理论基础之上。在众多理论中，动量矩方程（或称动量矩定理）无疑是离心风机，乃至所有叶轮机械设计的基石与灵魂。它揭示了叶轮与流体之间能量转换的本质，是所有设计计算的出发点。
本文旨在深入解析动量矩方程在离心风机设计中的核心地位、物理内涵、数学表达及其实际应用，旨在为同行，特别是初入行的工程师们，提供一个清晰而深刻的理论视角。
第一章：离心风机的基本工作原理与结构概要
在深入理论之前，我们首先对离心风机的工作过程有一个整体的认识。
离心风机主要由进风口、叶轮、机壳、主轴及驱动装置（如电机）等组成。其工作过程可以简述为：
吸气： 驱动装置带动叶轮高速旋转，叶道中的气体在离心力作用下被甩向叶轮外缘，在叶轮中心区形成低压区，从而将外部气体源源不断地吸入。
增压与加速： 气体在叶轮流道中，一方面随叶轮做圆周运动（牵连运动），另一方面沿叶片方向向外流动（相对运动）。在此过程中，叶轮对气体做功，将机械能传递给气体，气体的压力和速度显著增加。
扩压与排出： 从叶轮甩出的高速气体进入机壳（蜗壳）的扩压通道。通道截面积逐渐增大，气体流速降低，将一部分动能有效地转化为静压能，最终以较高压力的形式从出风口排出。
这个过程的能量传递核心发生在叶轮部分。那么，叶轮究竟是如何将扭矩（旋转的机械能）传递给气体的？传递的能量多少由什么决定？答案就在动量矩方程之中。
第二章：动量矩定理——从普遍原理到风机应用
2.1 理论基础：物理学中的动量矩定理
动量矩定理是理论力学中的基本原理之一。它指出：作用于质点系的所有外力对某定点的矩的矢量和，等于该质点系对同一点的动量矩对时间的变化率。
其数学表达式为：
∑Mo=dLodt∑Mo=dtdLo
其中：
∑Mo∑M是所有外力对定点O的力矩之和。
dLodtdtdL是系统对O点的动量矩（角动量）随时间的变化率。
简单来说，外力矩是改变系统动量矩的原因。
2.2 应用于离心风机控制体
我们将这一定理应用于旋转的离心风机叶轮。为了分析方便，我们选取一个固定的控制体，这个控制体将整个叶轮包裹在内。
外力矩 (∑Mo∑Mo)： 对于这个控制体，唯一能提供绕主轴（z轴）力矩的外部来源就是叶轮主轴施加的扭矩 MzMz。轴承摩擦等力矩通常很小，在理论分析中可忽略。因此，∑Mz=Mshaft∑Mz=Mshaft。
动量矩的变化率 (dLodtdtdLo)： 控制体内流体的动量矩会发生变化。根据流体力学中的雷诺传输定理，对于一个固定的控制体，其内部流体动量矩的变化率等于控制体内动量矩的时间变化率与通过控制面净流出的动量矩流量之和。在风机稳定工作时，控制体内的流动是定常的（稳态），因此控制体内动量矩的时间变化率为零。变化率完全取决于流入和流出控制面的流体所携带的动量矩之差。
因此，动量矩定理在风机稳态工况下可简化为：
主轴施加的扭矩 = 单位时间内流出控制面的流体动量矩 - 单位时间内流入控制面的流体动量矩
第三章：欧拉涡轮方程——动量矩方程的工程化身
将上述文字方程量化，我们就得到了叶轮机械中最著名的方程——欧拉涡轮方程（Euler's Turbomachine Equation）。
我们做如下定义：
叶轮进口半径为 r1r1，出口半径为 r2r2。
气体在进口处的绝对速度为 c1c1，可分解为圆周方向分量 c1uc1u 和径向（子午）分量 c1mc1m。
气体在出口处的绝对速度为 c2c2，可分解为圆周方向分量 c2uc2u 和径向（子午）分量 c2mc2m。
叶轮的旋转角速度为 ωω。
根据动量矩定理，主轴扭矩 MzMz 满足：
Mz=m˙(r2c2u−r1c1u)Mz=m˙(r2c2u−r1c1u)
其中 m˙m˙ 为质量流量。
扭矩乘以角速度 ωω 即得到叶轮传递给气体的功率 PP：
P=Mzω=m˙ω(r2c2u−r1c1u)=m˙(u2c2u−u1c1u)P=Mzω=m˙ω(r2c2u−r1c1u)=m˙(u2c2u−u1c1u)
这里 u1=ωr1u1=ωr1 和 u2=ωr2u2=ωr2 分别是叶轮进口和出口的圆周线速度。
单位质量气体所获得的能量（理论扬程或理论全压头）HthHth 为：
Hth=Pm˙g=1g(u2c2u−u1c1u)Hth=m˙gP=g1(u2c2u−u1c1u)
在风机领域，我们更常使用压力形式。忽略气体压缩性（对于低压鼓风机和通风机近似成立），理论全压 PthPth 为：
Pth=ρgHth=ρ(u2c2u−u1c1u)Pth=ρgHth=ρ(u2c2u−u1c1u)
这就是离心风机设计的核心方程——欧拉方程。它拥有了不起的深刻内涵：
揭示了能量传递的唯一途径： 方程表明，叶轮对气体做功，提升其压力能，只与气体绝对速度的圆周分量 cucu 有关，而与径向分量 cmcm（决定流量）无关。这意味着，气体是否冲击叶片、流动是否顺畅，这些细节本身并不直接做功，它们的影响体现在是否能够高效地实现 cucu 的变化。能量传递的本质是力矩和圆周速度的乘积。
指明了设计方向： 要提高叶轮的理论全压，就必须：
提高叶轮转速（增大 u2u2）。
增大叶轮外径（增大 r2r2 从而增大 u2u2）。
设计叶片形状，使气体在出口处具有更大的 c2uc2u 分量（即更接近沿圆周方向）。
进口预旋的影响： 方程中包含了进口项 u1c1uu1c1u。如果进口绝对速度本身就有圆周分量（称为预旋），且方向与叶轮旋转方向相同（正预旋），则会降低理论全压；如果方向相反（负预旋，设计中极少采用），则会增加理论全压。大多数离心风机设计采用轴向进气（无预旋），即 c1u=0c1u=0，此时欧拉方程简化为：
Pth=ρu2c2uPth=ρu2c2u
这个简化形式是最常用、最直观的设计起点。
第四章：速度三角形——连接动量矩方程与叶片几何的桥梁
欧拉方程给出了输入（扭矩）和输出（理论全压）的关系，但并未指明如何通过叶片形状来实现所需的 c2uc2u。这就要引入至关重要的工具——速度三角形。
速度三角形将气体在叶轮中任一点的复杂绝对运动 cc 分解为：
牵连运动 uu（随叶轮一起旋转的速度）
相对运动 ww（相对于旋转叶片的速度）
三者满足矢量关系：c=u+wc=u+w
在叶轮出口处，我们绘制出口速度三角形。已知条件是：
u2u2 （由转速和直径决定）
c2mc2m （由流量和出口面积决定：c2m=Q2πr2b2c2m=2πr2b2Q，其中 QQ 为体积流量，b2b2 为出口叶片宽度）
β2β2 （叶片出口安装角，这是关键的叶片几何参数）
根据矢量关系，我们可以推导出：
c2u=u2−c2mcot⁡β2c2u=u2−c2mcotβ2
将其代入简化版欧拉方程：
Pth=ρu2(u2−c2mcot⁡β2)=ρu22−ρu2c2mcot⁡β2Pth=ρu2(u2−c2mcotβ2)=ρu22−ρu2c2mcotβ2
这个公式极具启发性：
叶片型式决定性能曲线： 方程右边第一项 ρu22ρu22 是常数，第二项与流量 QQ（因为 c2m∝Qc2m∝Q）和 cot⁡β2cotβ2 有关。
后向叶片 (β2<90∘β2<90∘)： cot⁡β2>0cotβ2>0，PthPth 随流量 QQ 增大而减小。这是最常见的型式，效率高，功率曲线不易过载。
径向叶片 (β2=90∘β2=90∘)： cot⁡β2=0cotβ2=0，Pth=ρu22Pth=ρu22，理论全压与流量无关。结构强度好，但效率较低。
前向叶片 (β2>90∘β2>90∘)： cot⁡β2<0cotβ2<0，PthPth 随流量 QQ 增大而增大。能在小尺寸下产生高全压，但效率低，功率曲线易过载。
设计选择： 通过速度三角形，设计师可以根据期望的性能曲线（P-Q曲线）形状，反向确定叶片的出口角 β2β2，从而将抽象的动量矩方程具象化为具体的叶片几何造型。
第五章：理论与现实的差距——损失与效率
欧拉方程给出的是理论全压，它是在一系列理想假设下得出的（无限多无限薄叶片、流体理想无粘性、流动完全跟随叶片等）。实际风机中存在多种损失，使得实际全压 PP 远低于 PthPth。
主要损失包括：
流动损失： 包括摩擦损失、分离损失、涡流损失等，与流道的光滑度、形状合理性有关。
冲击损失： 在设计点工况下，进气方向与叶片进口角完美匹配。偏离设计点时，会发生冲击，产生损失。
泄漏损失： 高压区的气体会通过叶轮与机壳间的间隙泄漏回低压区，造成能量损失。
轮盘摩擦损失： 叶轮轮盘在机壳内旋转，会克服气体粘性阻力而消耗一部分功率。
因此，风机的全压效率 ηη 定义为：
η=P⋅QPshaft或Pshaft=P⋅Qηη=PshaftP⋅Q或Pshaft=ηP⋅Q
其中 PshaftPshaft 是实际轴功率。效率 ηη 是衡量风机气动设计优劣的核心指标，现代高效的离心风机效率可达85%以上。
第六章：动量矩方程在现代设计中的指导意义
尽管计算流体动力学（CFD）已成为风机设计的标准工具，但动量矩方程的指导地位从未动摇。
概念设计的起点： 任何新产品的设计，首先都要根据性能要求（流量、全压），利用欧拉方程进行初步估算，确定转速 nn、叶轮外径 D2D2、出口宽度 b2b2 等核心参数。
CFD结果的判据： 对CFD计算结果进行后处理时，可以通过积分计算叶轮进出口的动量矩流量，验证其是否满足动量矩方程，从而判断模拟的准确性和能量守恒情况。
故障分析与性能优化： 当风机出现性能不达标时，从动量矩方程出发，分析是否是 u2u2 不足（转速或直径问题）、c2uc2u 不足（叶片型线或磨损问题）、或损失过大（流道堵塞、间隙过大等），能够快速定位问题方向。
理解非设计工况： 当风机在变工况下运行时，进口流动角发生变化，导致 c1uc1u 不再为零，速度三角形畸变，最终通过动量矩方程影响全压和功率。这是理解风机性能曲线为何如此形状的理论基础。
结语
动量矩方程，以其简洁而深刻的数学形式，揭示了离心风机中能量传递的物理本质。它像一座坚实的桥梁，一头连接着基础的力学原理，另一头连接着复杂的工程设计与性能优化。从欧拉方程到速度三角形，再到对损失和效率的分析，构成了离心风机设计的完整理论链条。

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